Chapter Review 6 - Discrete Random Variables

核心知识点总结

1. 随机变量 (Random Variable)

定义：将样本空间中的每个结果映射到实数的函数

类型：离散随机变量和连续随机变量

表示：通常用大写字母X, Y, Z表示

2. 概率分布 (Probability Distribution)

概率质量函数：P(X = x)

性质：

P(X = x) ≥ 0 对所有x
∑P(X = x) = 1

3. 期望值 (Expected Value)

定义：E(X) = ∑x·P(X = x)

性质：

E(aX + b) = aE(X) + b
E(X + Y) = E(X) + E(Y)

4. 方差 (Variance)

定义：Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

性质：Var(aX + b) = a²Var(X)

标准差：σ = √Var(X)

5. 函数期望值 (Expected Value of Functions)

一般公式：E(g(X)) = ∑g(x)·P(X = x)

线性函数：E(aX + b) = aE(X) + b

方差变换：Var(aX + b) = a²Var(X)

关键词汇表

随机变量 Random Variable

离散随机变量 Discrete Random Variable

概率分布 Probability Distribution

概率质量函数 Probability Mass Function

期望值 Expected Value

方差 Variance

标准差 Standard Deviation

累积分布函数 Cumulative Distribution Function

Question 1

掷两枚骰子，定义随机变量X为两枚骰子点数之和。

a) 列出X的所有可能取值

b) 建立X的概率分布表

c) 计算E(X)

d) 计算Var(X)

e) 计算标准差

答题区域：

Question 2

设随机变量X的概率分布如下：

x	P(X = x)
1	0.2
2	0.3
3	0.4
4	0.1

a) 验证这是有效的概率分布

b) 计算E(X)

c) 计算E(X²)

d) 计算Var(X)

e) 如果Y = 2X + 3，计算E(Y)和Var(Y)

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) X的可能取值：2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

b) 概率分布表：P(X=2)=1/36, P(X=3)=2/36, ..., P(X=12)=1/36

c) E(X) = 7

d) Var(X) = 35/6

e) σ = √(35/6) ≈ 2.42

答案：a) 2-12；b) 见概率分布表；c) E(X) = 7；d) Var(X) = 35/6；e) σ ≈ 2.42

Question 2 解析

a) ∑P(X = x) = 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 1 ✓

b) E(X) = 1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.4 + 4×0.1 = 2.4

c) E(X²) = 1×0.2 + 4×0.3 + 9×0.4 + 16×0.1 = 6.6

d) Var(X) = 6.6 - (2.4)² = 0.84

e) E(Y) = 2×2.4 + 3 = 7.8, Var(Y) = 4×0.84 = 3.36

答案：a) 有效；b) E(X) = 2.4；c) E(X²) = 6.6；d) Var(X) = 0.84；e) E(Y) = 7.8, Var(Y) = 3.36